“缘幂势既同，则积不容异。”朱载堉将一句话拿了出来，面色凝重的说道：“要理解这句话的意思，是非常困难的。”

这句话的意思是，等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等。

朱载堉拿出了两个立方体，第一个是正立方体，一个是球，这个正立方体的边长是球的直径，他将两个小球递给了张宏给陛下查验后，才开口说道：“这是从一个错误开始的。”

“九章算术中说：黄金方寸重十六两，金丸径寸重九两，率生于此，未曾验也。就是说边长为一寸的金属球重为十六两，而直径为一寸的球体，为九两。”

“进而我们得到了一个球体公式，也就是V=9/16d。”

“这个公式自从周朝就开始用了，《周官·考工记》：朅氏为量，改煎金锡则不耗，不耗然后权之，权之然后准之，准之然后量之。”

朱翊钧听闻之后，疑惑的问道：“用实际测量的方法算出的球体公式，误差有多少呢？”

张居正拿过了算盘噼里啪啦的打了下，解答道：“9/16-π/6≈，显而易见，差别不是很大，但是算学就是如此，不对就是不对。”

朱载堉继续说道：“是以九与十六之率，偶与实相近，而丸犹伤耳，按9/16的比率，来计算球和外切立方体体积时，则球的体积较实际多一些，多多少？多倍左右。”

“我们之前在割圆的时候就讲到过，割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”

“就是说，点构成了线，线构成了面，这也是面积口诀得到的基本原理。”

“我们知道一个圆的面积等于外切正方形面积的π/4，1300年前，刘徽思索能不能找到一个立方体，让这个立方体不管从哪里去切，它的横截面，都是一个圆和外切正方形呢？”

“刘徽设计了一个这样的立方体，名字叫牟合方盖，牟相同，合盖上，方，就是说这个立方体的每一个面的横截面都是正方形，盖雨伞，它的形状是两个方形的雨伞，扣在一起，正好和球完全相切。”

“刘徽将两个底面半径相同的圆柱体相交，然后将公共部分截取出来，得到了这个立方体。”

“这个时候，只要求出这个立方体的体积，乘以π/4，就得到了球的体积。”

“可惜，刘徽始终无法求出这个立方体的体积，说：陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者，期许后人的智慧了。”

朱翊钧拿到了牟合方盖，这是朱载堉做的教具，得益于大明工匠们的巧手，将两个圆柱相交部分截出来的牟合方盖，这玩意的体积的确不好求，它不规则。

朱载堉才继续说道：“1000多年前，祖冲之的儿子祖暅解决了这个问题。”

“它将牟合方盖切成了八个小牟合方盖，然后截开，利用勾股定理等计算，将小牟合方盖减掉1/8球的体积，转化为了一个方锥的体积，得到方锥体积，就能得到小牟合方盖的体积为2r/3，大牟合方盖的体积为16r/3，球的体积等于4πr/3，解决了这个问题。”

“等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，祖暅用这个方法，解决了圆锥体积公式，陛下这个很难理解。”

朱翊钧则是笑着说道：“缘幂势既同，则积不容异，不是很难理解。”

小皇帝稍微思考了下，拿出了铅笔，稍微画了两下，让张宏下去准备，没一会儿张宏拿过来了一个圆柱体，和一堆的银币。

“这是泰西来的银币，这是和银币底面半径相等的圆柱体。”朱翊钧将银币随意摞了起来，笑着说道：“它们体积相等，求圆柱体体积就是求银币的体积之和。”

张居正和朱载堉互相看了一眼，再看着摞在一起的银币和圆柱体，只能说，数学这件事上，似乎从来没有难住过陛下，陛下总是能够精准的理解这些内容。

朱载堉在讲什么？讲的是积分，无穷求和。

微分，是无穷切割，积分就是无穷求和，微分和积分互逆运算，就是微积分。

大明在数学领域，完全有资格进行考古式科研，能把一千多年前的数学原理捣鼓明白，大明的算学就已经，完完全全站在了世界的顶端。

“皇叔，是这样吗？”朱翊钧笑着说道。

朱载堉俯首说道：“是这样的，陛下英明。”

“难道仅仅这样吗？不能更进一步吗？”朱翊钧接着说道。

更进一步？朱载堉陷入了一些迷茫之中，还如何再进一步呢？他缺少一个数学工具才能再进一步。

“慢慢来就是了。”朱翊钧站起来，笑着说道：“皇叔钻研有方，重重有赏！”

考古式科研，不是什么不可以接受的事儿，无穷求和的概念，能够解决许多的现实问题，比如如火如荼的清丈，测量不规则图形面积的问题，就可以用到这种思想。

将一个不规则的图形，切割成以步为宽的小矩形，在步的左侧建立一个小矩形，在步的右侧建立一个小的矩形，步左和步右的矩形面积之和除以二，得到不规则田亩的面积，这个方法，在实际清丈中，运用的炉火纯青。

“陛下，程大位有丈量步车献上。”朱载堉其实对恩赏并不是很看重，他对这些身外之物，向来不怎么在意，要不然也不能在王府外的土房子里，一住就是十几年了。

朱载堉更加在乎，自己的志向能够达成，而且正在一步步的达成，陛下对他的科研工作的支持，就三个字，无上限，要什么给什么。

“丈量步车？”朱翊钧本来以为今天的算学已经结束，没想到还有大货在等着他，他满是笑意的说道：“快快呈上来。”

程大位将一辆丈量步车推了上来，将一本书递给了张宏。

这本书上是关于丈量步车的详细记录，完整的零件图、总装图、设计说明和改型说明，这是精确记录，度数旁通的成果，也就是说，只需要将这本书发下去，大明各地就可以利用这本书里的设计，大量制造丈量步车，测量大明田亩数量。

这东西说复杂看起来的确复杂，木制的外套、十字架，竹制的篾尺，铁制的转心、钻脚和环等部件组成，但其实就是后世用的卷尺。

程大位介绍着自己的丈量步车说道：“古者量田较阔长，全凭绳尺以牵量，所需人力极多，而且差错极大，不能精确。通过转动实现尺体的收放，蔑尺之上，逐寸写字，每寸为二厘；五寸为一分；五尺为一步，依次而增，至三十步以上或四十步以下可止，篾上用明油油之，字不易脱落，还容易清洗。”

五尺为步，步二百四十为亩，亩百为顷。

“好物，好物。”朱翊钧看着面前的卷尺，不住的点头说道：“先生，刊刻后送到南衙清丈使用可好？”

“臣遵旨。”张居正俯首说道。

卷尺的应用，将会大大的加快大明清丈，厘清天下田亩的具体数量，将已经近两百年未曾动过的鱼鳞册，好好核算清楚明白。